☼ ♀ Jugando con el Álgebra ☼ ♀

Integrantes:

• Cardoza Arrunátegui Christian Harold
• Araujo furlong Santiago Ignacio

División de polinomios:

a. Caso general

Si se va a dividir polinomios, en general se realiza de forma semejante a la de números de varias cifras, aunque las operaciones que realizamos rápidamente con los números, con los polinomios las vamos indicando. El proceso es el siguiente:

Con los polinomios dividendo y divisor ordenador de mayor a menor grado:

• Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor, dando lugar al primer término del cociente.
• Se multiplica dicho término por el divisor y se coloca debajo del dividendo con los signos contrarios, cuidando que debajo de cada término se coloque otro semejante.
• Se suman los polinomios colocados al efecto, obteniéndose un polinomio de grado menor al inicial.
• Se continua el proceso hasta que el resto ya no se pueda dividir entre el divisor por ser de menor grado.

Ejemplo 1.-

Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2.

También existen casos de división de polinomios entre monomios y de polinomios entre polinomios

División de polinomios por monomios

Procedimiento:

1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente manera:
3. Se aplica la ley de los signos.
4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor"
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por último, la parte literal en orden alfabético

Ley de los signos

+ Por + Da +
+ Por – Da –
- Por – Da +
- Por + Da -

Dividir:

División de dos polinomios

Procedimiento:

1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste será el primer término del cociente
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y escribiendo cada término debajo de su semejante
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos y escribiendo cada término debajo de su semejante
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan las operaciones anteriores ...

Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Dividir:

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Precálculo 21. Álgebra de Baldor. División de polinomios por monomios: 52 y 53. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id78.htm

2. Descartes. Polinomios 1. División de Polinomios. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom1.htm#division

3. . Precálculo 21. Álgebra de Baldor. División de dos polinomios: 54, 55, 56, 57, 58 y 59. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id80.htm

4. Monografias.com. Productos notables. División Algebraica. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#DIVIS

b. Aplicando el método de los coeficientes separados.

En este caso se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones:
oSe trabajan solamente con los coeficientes y sus correspondientes signos del dividendo y divisor.
oEn el caso de faltar un término con una potencia de la variable se coloca en su lugar cero, en el divisor.
oDe esta manera se obtiene los coeficientes con sus signos del polinomio cociente.
oPara determinar el grado del cociente y resto se aplican las propiedades :

q° = D° - d
r° = d – 1

§Este método es recomendable para polinomios de una sola variable.

Ejemplo:

6x5 – 20x4- 13x3 + 25x2 – 12x +

73x 2 – x + 1

Solución: Observamos que el polinomio dividendo y divisor están ordenados.
Luego:

El cociente ( q ) es de grado : q° = D° - d° = 5 – 2 = 3
El cociente es q = 2x3 – 6x2 – 7x + 8
el de grado : r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1
El resto ( r ) es de grado r = 3x – 1

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Monografias.com. Productos Notables. División algebráica. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

2. Precálculo21. División de polinomios por el método de coeficientes separados 58. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id130.htm

3.

c. Aplicando el método de Horner

Este método es un caso particular del método de coefientes separados y se emplea para la división de dos polinomios de cualquier grado.

Procedimiento :

• Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila con su propio signo
• Se escribe los coeficientes del divisor en una columna a la izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y los restantes con signo cambiado.
• El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cienote.
• Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a los cuales se cambio de signo, colocándose los resultados a partir de la segunda fila, corriendo un lugar hacia la derecha.
• Se reduce la siguiente columna y se coloca el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y obtener el segundo termino del cociente.
• Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambió de signo, colocándose el resultado en la tercera fila y corriendo un lugar hacia la derecha.
• Se continuaría este procedimiento hasta obtener el término debajo del último termino del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.

Para obtener los coeficientes del residuo se reducen directamente cada una de las columnas que pertenecen.nte (el signo de a será positivo si el divisor es del tipo (x-a) y negativo si el divisor es del tipo (x+a).

Se suma el segundo coeficiente con el resultado anterior.

Se continúa el proceso hasta terminar con los coeficientes.

Ejemplo Efectuar la división polinómica expresada por :

Solución :

Los grados del cociente y residuo serán :

q° = D° - d° = S – 2 = 3

r° = d° - 1 = 2 – 1 = 1

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Monografias.com. Productos notables. División Algebraica. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

d. Método de Ruffini: casos

El caso más importante de la división de polinomios es el que tiene por divisor un binomio del tipo x - a, siendo "a" un número entero; por ejemplo (x - 1), (x + 2), etc.

Además de realizarse la división por el método general expuesto en el apartado anterior, se puede realizar usando la regla de Ruffini.

La regla de Ruffini se utiliza fundamentalmente cuando el polinomio dividendo tiene como única letra (variable) la x y el ya citado divisor (x - a). Utiliza los coeficientes del dividendo y el valor de "a", obteniéndose los coeficientes del polinomio cociente y el valor del resto (obsérvese que el resto siempre será un número), disponiéndose en la forma que se muestra en el escena siguiente que presenta la división:

Ejemplo:

(x³ + x² - x - 1) : (x - 2)

• Se "baja" el primer coeficiente del dividendo.
• Se multiplica "a" por el coeficiente bajado y se coloca el resultado debajo del segundo coeficie

Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (de un grado menor al dividendo) excepto el último número que es el valor del resto.

Así en la escena del ejemplo anterior:

- El cociente es x² + 3x +5 y el resto es 9

"Si cambias los valores de "a" en la escena podrás observar otras divisiones (por ejemplo que para a = 1 la división es exacta)".

Se estudian 3 casos :

1. Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

su forma general : x ± b . se opera así :

1. Se escriben los coeficientes del dividendo en línea horizontal;
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a la izquierda y abajo del coeficiente del primer término del dividendo;
3. Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener el cociente, se separa la última columna que viene a ser el resto.

Ejemplo:

1. Obtener el cociente y el resto en la división :

Solución:

Escribimos los coeficientes en el respectivo cuadro ( completando con ceros los términos que faltan):

q° = D° - d° = 5 – 1 = 4

r° = d° - 1 = 1 – 1 = 0

	Cocientes del dividendo
	2	0	1	0	3	2
- 1		- 2	2	- 3	3	- 6
	2	- 2	3	- 3	6	- 4
						Resto
	Coeficiente del cociente

Donde:

Cociente obtenido: 3
Residuo obtenido: 0

2. Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de cero.

Su forma general es : ax ± b

• Se transforma el divisor, extrayendo factor común, el primer término del divisor, es decir :

• ( ax ± b) = a ( a ± b/a )
• Se divide entre ( x ± b/a) , como en el primer caso.
• Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.
• El resto obtenido no sufre alteración

Ejemplo:

Hallar cociente y resto en :

Solución :

a) Se factoriza 3 así :

3{x + 2/3}

b) Dividiendo entre x + 2/3

c) Previamente se completa el dividendo con cero Operamos así:

Ordenando y completando los coeficientes de el polinomio, tenemos :

	18	0	- 29	- 5	- 12	- 16
- 2/3		- 12	8	14	- 6	12
	18	- 12	- 21	9	- 18	- 4

Donde :

Cociente obtenido : 18x⁴ – 12x³ – 21x² + 9x – 18

Residuo obtenido : - 4

Cuando el divisor es de la forma : axⁿ + b

En este caso para que la división se pueda efectuar los exponentes de la variable del dividendo, deben ser múltiplos del exponente de la variable del divisor. Ejemplo: Hallar el cociente y el resto en:

6x36 + 17x27 – 16x18 + 17x9 + 12

3x9 + 1

Solución :

Observamos que los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente del divisor (9), por lo tanto, se puede aplicar el método.

Haciendo : x⁹ = y

La división es :

3y + 1 = y + 1/3 = 0 Þ y = -1/3

	6	+ 17	- 16	+ 17	+ 12
-1/3		- 2	- 5	7	- 8
	6	+ 15	- 21	+ 24	4

Cociente primario : 6y³ + 15y² – 21y + 24

Simplificando tenemos ( dividiendo entre 3) : 2y³ + 5y² – 7y + 8

Reemplazando : y = x⁹ , el cociente será : 2x²⁷ + 5x¹⁸ – 7x⁹ + 8

Y de residuo o resto, tenemos : R = 4

Citas y Referncias Bibliográficas

1. Monografias.com. Productos Notables. División algebráica. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

e. Teorema del resto o Descartes

P r o c e d i m i e n t o Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a. Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos anteriores se deduce la veracidad del Corolario. Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a) y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.

Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:

Como hemos visto anteriormente en el método de Ruffini, se obtiene de forma sencilla el cociente y el resto de la división de un polinomio entre el binomio (x - a). También hemos conocido en apartados anteriores lo que es el valor numérico de una expresión algebraica en general y por tanto de un polinomio en particular.

Ejemplo:

Calcula el valor numérico de los polinomios dividendo del ejercicio 10 para los valores de x = -3 y x = 1 respectivamente. Compara dicho valor numérico con el resto de las divisiones efectuadas en dicho ejercicio

¿Qué has observado?
En la escena siguiente se presenta la división, efectuada por la regla de Ruffini, para polinomios de tercer grado y el valor numérico de los polinomios del dividendo para los valores de "a" correspondientes. Si se desean ejemplos de polinomios de segundo grado basta con hacer que el primer coeficiente (c1) sea 0. No podrá utilizarse para polinomios de grado superior a 3.

Citas y Referncias Bibliográficas

1. Leoncio Santos Cuervos. Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000. Descartes. Polinomios 2. Teorema del resto. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_CNST_1/Polinomios/polinom2.htm#teoresto

2. Monografias.com. Productos Notables. División algebráica. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://www.monografias.com/trabajos16/productos-notables/productos-notables.shtml#ESTUDIO

3. Precálculo21. Álgebra de Baldor. Corolario del Teorema del residuo- 76. (Ref. 31/08/05) Disponible en la siguiente Web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id102.htm

f. Cocientes notables:

Casos

Cocientes notables:

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

P r o c e d i m i e n t o 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos.

Hallar, por simple inspección, el cociente de:

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades

Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades

Procedimiento

Criterios de Divisibilidad Criterio1: La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: am – bm = am-1 + am-2 b + ... + abm-2 + bm-1 a – b

Criterio2: La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la suma de cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: am – bm = am-1 + am-2 b + ... + abm-2 + bm-1 a + b

Criterio3: La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por: am + bm = am-1 + am-2 b + ... + a2bm-3 -abm-2 + bm-1 a + b

Criterio4: A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma : am + bm , donde m es par. No son exactos a +- b

B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma : am – bm , donde m es impar. No son exactos a +- b

Nota: Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo es cero.

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Formato Archivo.Productos y cocientes Notables.(Ref. 01/09/05) Dsiponible en la siguiente: Pagina Web

2. Matemáticas. Productos y cocientes notables- según älgebra Baldor. (Ref. 01/09/05) Dsiponible en la siguiente Web: http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html

3. Precálculo21. Álgebra de baldor. Productos y Cocientes Notables - 69, 70, 71 y 72. (Ref. 01/09/05) Dsiponible en la siguiente Web: http://usuarios.lycos.es/calculo21/id95.htm

4.Operaciones con Polinomios. Cocientes Notables. (Ref. 01/09/05) Dsiponible en la siguiente Web: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra3.htm#cocientes

Propiedades de los cocientes notables

Propiedades de los Cocientes Notables.

xⁿ ± yⁿ

x ± y

1° El exponente del 1° término irá disminuyendo de uno en uno a partir de (n-1) hasta cero inclusive, mientras que el exponente del 2° término irá aumentando de uno en uno a partir de cero (n-1) inclusive.

2° El desarrollo tiene “N” términos.

3° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma (x-y) los signos de los términos del desarrollo serán positivos.

4° En los cocientes notables que tengan por denominador expresiones de la forma “x+y” los signos de l desarrollo serán alternadamente positivos y negativos.

* Para hallar cualquier término de un cociente notable:

5° Cualquier término del desarrollo de un cociente notable se puede encontrar usan do la fórmula:

T_k = ± x^n-k y ^k-1

-En donde:

“K” es el lugar del término que se pide, “X”, representa el 1° término del denominador del cociente notable, “Y” representa el 2° término del denominador del cociente notable y “N” es el exponente común al cual están elevados cada uno de los términos del denominador del cociente y que aparece en el numerador.

6° Para que una expresión de la forma:

Xm + Yp

Xn + Yq

Sea desarrollado como cociente notable ante debe cumplirse que :m = p

Calcular el enésimo termino.

g. Factorización:

Casos:

· Factor común monomio

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo:

Este método busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio. Este factor resultara ser un monomio, mismo que debemos encontrar.

Dado un polinomio cualquiera, lo primero que tendremos que hacer para hallar el Factor Común Monomio será encontrar el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de la parte numérica de todos los términos.

Dado el siguiente polinomio: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Hallaremos el M.C.D. de la parte numérica: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Entonces el M.C.D. de 8, 4 y 16 es: 4 (este numero será la parte numérica del monomio que busco)

Ahora observo mi polinomio: 8x⁴ -4x²y + 16x⁵y²
Me doy cuenta que la letra x se repite en los tres términos, entonces buscare la que tenga menor exponente, misma que resulta ser x² (la tomo como parte literal del monomio que busco)

Como no hay otra letra que se repita en todos los términos, empiezo a construir mi monomio.
Recuerdo que la parte numérica era 4 y la parte literal era x², entonces será: 4x²

El monomio que he encontrado dividirá a todos y cada uno de los términos del polinomio, así:
8x⁴ ÷ 4x² = 2x²
-4x²y ÷ 4x² = -y
16x⁵y² ÷ 4x² = 4x³y²
Construimos el polinomio: (2x² -y +4x³y²)

Ahora presentamos el monomio por el polinomio: 4x²(2x² -y +4x³y²)

· Factor común polinomio

En este caso también se busca un factor común a todos y cada uno de los términos de un polinomio, pero ahora este factor será otro polinomio.

Veamos el siguiente ejemplo:
5x²(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x² + 3x +7)

Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x² + 3x +7)

En algunos casos debemos "jugar" con el numero 1, por ejemplo en: 5a²(3 +b) +3 +b
Que yo puedo escribirlo como: 5a²(3 +b) +1(3 +b)

Entonces la respuesta seria: (3 +b) (5a² +1)

· Por agrupación de términos

En la factorización por agrupación de términos hacemos una mezcla de las anteriores técnicas de factorización.

Dado un polinomio cualesquiera debemos primero formar grupos de terminos con características comunes (de preferencia de dos términos cada grupo) y a cada uno de estos grupos le sacaremos el Factor Común Monomio.

Veamos el ejemplo: 5x⁴y + 3x²y -9xy -15xy²
De acuerdo a las características lo podría agrupar: 5x⁴y + 3x³y -9y -15xy²

El primer grupo es: 5x⁴y -15xy²
Y su Factor Común Monomio: 5xy (x³ -3y)

El segundo grupo es: 3x³y -9y
Y su Factor Común Monomio: 3y (x³ -3y)

Entonces: 5x⁴y + 3x²y -9xy -15xy² = 5xy (x³ -3y) +3y (x³ -3y)
Y ahora aplicamos Factor común Polinomio, ya que nos damos cuenta que el polinomio (x³ -3y) se repite.

La respuesta finalmente será: (x³ -3y)(5xy +3y)

· Diferencia de cuadrados

para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi:

Suma o diferencia de potencias iguales:Para solucionar este caso debes tener en cuenta los conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z;

Si "n" es par:

• 

Si "n" es impar

• 

Se factoriza asi: si "n" pertenece a z

• 

Si "n" es par

• 

Si "n" es impar

• 

· Suma de cubos y Diferencia de cubos

Para esto debemos recordar que:

y

Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo:

• La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La suma de sus raíces cúbicas 2. El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.
• La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 1. La diferencia de sus raíces cúbicas. 2. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz.

· Trinomios de segundo grado:

Trinomio cuadrado de la forma Debe cumplir con las siguientes características:

• Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula).
• El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de 1 y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta.
• La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno.
• Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma
  
  
  
  
  de la siguiente forma:
  
  
  
  
  luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma:
  
  
  
  
  y se opera, dando como resultado:
  
  
  
  

y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior.

§ Trinomio cuadrado perfecto

Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede descomponer como producto de un mismo factor.

Por ejemplo:

1.- Se puede expresar como 9x² como 9x²= (3x)(3x)

2.- x⁴ se puede descomponer como x⁴=(x² )(x²)

Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el producto de dos binomios iguales.

Por ejemplo:

x² + 2xy + y² se puede expresar como:

Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:

• (x + y )² = (x + y) (x + y ) = x² + 2xy + y²

Con signo menos:

• (x - y )² = (x - y) (x - y ) = x² - 2xy + y²

O en una sola expresión:

• (x + y )² = (x + y) (x + y ) = x² + 2xy + y²

También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.”

Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos

x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )

4x2 + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )

x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )

25a2 + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

§ Trinomio de la forma x2+bx+c: método del aspa

TRINOMIO CUADRATICO TIPO 2

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a ≠ 1.	ax2 + bx + c = ( + ) ( + ) factores de a son x, y. factores de c son r, s. Factores de a Factores de c Combinación igual a b x r y s MULTIPLICA CRUZADO xs + yr = b Factorizan en signos iguales x2 - bx + c = ( - ) ( - )	Rompe en dos binomios de suma: para completarlos: Busca todos los factores de a y todos los de c. Colócalos formando dos columnas; la primera con los de a y la segunda con los de c. Multiplíca cruzado hasta obtener la combinación cuya suma da igual a b. Llena un binomio con los factores x, r y el otro con los factores y, s. Rompe en dos binomios de resta y se completa igual que el anterior. Procede de la forma anterior.

Ejemplo 1:

2x² + 5x + 2 = ( + ) ( + )

factores de 2 son 2, 1.

factores de 2 son 2, 1.

Factores de 2	Factores de 2	Combinación igual a 5
2	2	2(1)+1(2) = 4
1	1
2	1	2(2)+!(1) = 5
1	2

Un binomio se completa con 2 y 1 y el otro con 1 y 2, así:

2x² + 5x + 2 = (2x + 1) (x + 2)

§ Trinomio de la forma ax2+bx+c; (a¹1)

TRINOMIO CUADRÁTICO TIPO 1

TIPO	Fórmula	Que se hace
Trinomio Cuadrático ax2 +bx + c, a = 1.	x2 + bx + c = ( + ) ( + ) Factorizan en signos iguales x2 - bx + c = ( - ) ( - )	Rompe en dos binomios de suma y se completa con dos números cuyo producto es c y cuya suma sea b. Rompe en dos binomios de resta y se completa igual que el anterior.

http://ciencias.bc.inter.edu/smejias/algebra/conferencias/trinom1.htm

Ejemplos:

x² + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2)

5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7

x² + 10x + 9 = (x + 9) (x + 1)

9 x 1 = 9 y 9 + 1 = 10

x² - 8x + 12 = (x - 6) (x - 2)

( ^- 6) ( ^- 2) = 12 y ( ^- 6) + ( ^- 2) = ^- 8

z⁴ - 10z² + 25 = ( z - 5 ) ( z - 5 )

( ^- 5) (^- 5 ) = 25 y ( ^- 5) + ( ^- 5) = 10

Polinomio primo o irreductible

Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k.

Ejemplo 1

Factorizar x2 + 5x + 6

Primer Paso:

Listamos todos los factores o divisores de 6:

+- 1, +- 2, +- 3, +- 6

Ejemplo 1 (cont.)

Segundo Paso:

De la lista anterior, escogemos dos enteros cuya suma sea +5 y cuyo producto sea +6.

Los dos enteros son +2 y +3 porque
2 + 3 = 5 y 2 x 3 = 6.

Ejemplo 1 (cont.)

Tercer Paso:

Expresamos al trinomio x2 + 5x + 6 como el producto (x + 2)(x + 3), es decir,
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Observemos que como 6 es positivo, 2 y 3 poseen signos iguales.

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Monográfias.com. http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml#trigo

Página Web

§ Trinomio por suma y resta (Quita y Pon)

Bueno en este caso se intentará transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Procedimiento

1.- Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.

2.- Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la 1, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión.

3.- Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha.

4.- Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo.

5.- Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio.

Por ejemplo:

Resolviendo nos queda

Aplicando la diferencia de cuadrados:

§ Empleando aspa doble
· Empleando el método de los divisores binomios

Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.

Para hallar los posibles valores de los divisores de un polinomio se toma un divisor del numerador y se les combina con los del denominador.

Procedimiento

1. Se determinan los ceros del polinomio.
2. Se deduce el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebráica: si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) =o, entonces dichos polinomio tendrá un factor (x-a).

El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado(cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar).
· Máximo común divisor

Máximo común divisor.
El máximo cumún divisor de varios números naturales es el número más grande que es divisor de todos ellos a la vez.

El máximo común divisor (m.c.d.; mcd) de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.asdasdasdasdasdasasd Para el cálculo del máximo común divisor de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 2³ · 3 · 17²

1200 = 2⁴ · 3 · 5²

podemos inferir que su m.c.d. es 2³ · 3 = 24

Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el algoritmo de Euclides.

Usos

El m.c.d. se emplea para simplificar fracciones, por ejemplo

Aquí, m.c.d.(30, 42) = 6, así que se divide el numerador y el denominador de la fracción inicial por 6 para obtener la fracción simplificada.

Propiedades

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

Citas y Referencias Bibliográficas

1.http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Multiplos_divisores/mcd2n.htm

2. Wikipedia. La Enciclopeia Libre. Artículo. Máximo Común Divisor. (Ref. 03/0905). Disponible en la siguiente Web:http://es.wikipedia.org/wiki/Máximo_común_divisor

· Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Para el cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Por ejemplo, de las factorizaciones de 6936 y 1200,

6936 = 2³ · 3 · 17²

1200 = 2⁴ · 3 · 5²

podemos inferir que su m.c.m. es 2⁴ · 3 · 5² · 17² = 346 800.

Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.

El m.c.m. se emplea para sumar fracciones de distinto denominador, por ejemplo,

Citas y Referencias Bibliográficas

1. Wikipedia. La Enciclopeia Libre. Artículo. Mínimo Común Múltiplo. (Ref. 03/0905). Disponible en la siguiente Web:http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimo_com%C3%BAn_m%C3%BAltiplo